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在许多人看来,1+1=2,这是常识,不需要证明。

一个苹果和另一个放在一起,那就是两个苹果。一个人和另一个人放在一起,那就是两个人。

虽然一滴水和另一滴放在一起,会变成一滴水,而不是两滴水,不过这也只是称呼的问题。我们只要说,一克水和另一克混合在一起,会变成两克水,这就可以了。

但是,数学家们并不满足于常识。他们依然想要构造出一个公理系统,来证明1+1=2。

关于自然数的加减乘除这四则运算,数学家朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano)建构的公理系统最为出名。接下来,就让我们来领略皮亚诺公理的魅力吧。

假装自己什么都不知道

首先,我们需要假定自己不是地球人,而是外星人,而且是那种从来没有学过数学的外星人。

这一步有点困难,因为假扮一个外星人,强求我们假装自己不知道那些明明已经知道的东西,但我希望大家还是努努力。

如果你不假装自己什么都不知道,那你就不会知道公理系统有多重要。同时,你也很难体会到皮亚诺公理有多美。

皮亚诺的五条公理

现在,假定我们已经什么都不知道了。现在再来看皮亚诺的那5条公理:

一:1是自然数。
二:任何自然数都有一个邻居,我们称之为这个自然数的后继数,它也是个自然数。
三:任何自然数的后继数都不是1。
四:任意挑选出两个自然数,就称呼其中一个为a,另一个为b。如果a的后继数和b的后继数刚好是同一个数。那么,a和b其实不是两个不同的自然数,而是同一个自然数。
五:假设自然数1有一个特点。而且,如果任意自然数n有这个特点,那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出,所有自然数都有这个特点。

作为外星人,匆匆一瞥,我们肯定看不懂这五条公理究竟在说什么。所以,让我们来逐条欣赏它们的含义。

第一条公理

第一条公理非常简单,它的意思就是说,1这个数啊,它算是自然数。或者说,假设自然数是一个俱乐部,那么1这个数就是这个俱乐部的成员。

注意,这条公理并没有说,1是不是这个自然数俱乐部的唯一成员。目前,关于自然数俱乐部,我们所知甚少。至少现在,我们只知道1是其中一员。

第二条公理

现在,我们来看第二条公理。这条公理就更值得品味了。它说,任何自然数都有一个邻居,我们称之为这个自然数的后继数,它也是个自然数。我们可以猜想,自然数这个俱乐部的成员,其实都很怕寂寞。每个成员都要和邻居住在一起,而且那个邻居也是自然数。

如果把第一条公理和第二条公理结合在一起,我们会发现什么呢?

1是自然数的一员,1也很怕寂寞,所以1也有个邻居。1这个数的邻居,为了方便称呼,就叫做“1的后继数”。而且,“1的后继数”这位邻居,本身也是自然数俱乐部的成员,它也是个自然数。

现在,我们知道了,1在自然数俱乐部中并不是孤家寡人。这个俱乐部里头至少有两个成员,一个是1,另一个是“1的后继数”。

那么,现在让我们再来问一个问题。这个自然数俱乐部里,是不是只有两个成员呢?

当然不是。仔细看看第二条公理,它说的是任何自然数的后继数都是自然数。既然“1的后继数”也是自然数,那它也有个邻居,而且那个邻居也是后继数。

所以,现在我们知道了,自然数俱乐部里至少有三个成员:1,1的后继数,1的后继数的后继数。

运用同样的思路,不难发现,自然数俱乐部里其实有超多成员:1,1的后继数,1的后继数的后继数,1的后继数的后继数的后继数,1的后继数的后继数的后继数的后继数……

现在,我们已经知道了自然数俱乐部里,至少看起来有超多成员,虽然不知道具体有多少,但总之有很多就对了。

第三条公理

这条公理看似有些多余,它说,任何自然数的后继数都不是1。

但是,仔细想想的话,这条公理一点都不多余。你们看,第一条公理和第二条公理里头,都没有规定任何自然数的后继数都不是1。你们想,如果没有这条规定,那么俱乐部有可能是什么样子?

可能性就非常多了。自然数俱乐部甚至可能只有1这一个成员,1的后继数其实也是1,1的后继数的后继数还是1,看起来有很多成员,其实都只是1穿的不同马甲罢了。

自然数俱乐部里也可能只有2个成员。比如,只有1和1的后继数。如果不做出第三条公理中的规定,那么1的后继数的后继数可能就是1。整个俱乐部里,就只有这两个数抱团取暖。比如,1的后继数的后继数的后继数,其实就是1的后继数。整个俱乐部的成员其实都是这两个成员穿的不同马甲。

同理,自然数俱乐部里,也可能是3个成员,4个成员或5个成员,还可能是23456个成员,可能是938457234个成员。但是,这不是皮亚诺想要的自然数俱乐部。所以才有了第三条公理。

现在,我们知道了,自然数俱乐部里不知看起来有多个成员,实际上也有多个成员,而且,数量貌似还不少。

第四条公理

第四条公理说起来有点长。为了节约时间,让我们发明一些简便称呼。

我们可以把“诸葛孔明”直接称之为“亮”,这样可以节约读三个字的时间。所以,我们直接把1的后继数,写作1’。那么,1的后继数的后继数,就写作1’’。1的后继数的后继数的后继数,就是1’’’。这样做可以省下很多时间。

那么,这条公理也可以简单地说:如果a和b都是自然数,并且a’=b’,那么a=b。

大家想一想,皮亚诺为什么要搞这条公理呢?如果不搞这条公理,那么自然数俱乐部有可能是什么样子呢?

这样,我们假设每个自然数都特别阔气,它们单独都住一栋别墅。那么,皮亚诺心目中的自然数们的住宅,就是一排一直可以排列下去的超长联排别墅,一眼根本望不到头。

但是,现实生活中的联排别墅不一定是这种直线排列下去的。现实生活中的联排别墅也可以是一个圈。

当然,由于第三条公理的存在,所以自然数俱乐部的成员住的别墅,不可能是一个大圈。

但是,如果不规定这第四条公理,那联排别墅有可能还是会循环,不会一直排列下去。

所以要做出这样的规定。如果有两栋别墅的后继别墅是同一栋别墅,那么这两栋别墅其实是同一栋别墅。这样就能确保在建别墅时,不会出现循环。如果不这么规定,那么第一栋别墅的后面那一栋,可能同时也是第七栋别墅的后面一栋。但是,如果有了这个规定,就不会出现联排别墅中,不同的别墅共有同一个后继别墅的情况。

而且,有了这条规定,我们就不会允许横插进来的违章建筑。不会突然出现另一个自然数,比如x,它中途插入进来,也靠在1’’旁边,但又不能排列进这条直线队伍里。

有了这条规定,我们就知道,如果x的后继数是1’’,而且1’的后继数也是1’’,那么x其实就是1’’。

有了前四条公理,我们差不多就能描绘出,自然数是个什么样子了。大概就是沿着一条直线,不断延申,不会最终绕回来,也不会中途循环,也不会有横插在旁边的数字,总之就是像直直的联排别墅那样的结构。

第五条公理

这个第五条公理说起来有点长,但它其实数学归纳法。

数学归纳法可是个好东西啊,它可以让我们用有限的规则,理解无限的对象。换句话说,吾生也有涯,而知也无涯。一旦有了数学归纳法,那么以有涯随无涯,就不会殆已。

但是,今天没有时间细说数学归纳法,以后有空再详述。今天只是打个简单的比方,用多米诺骨牌来体会一下这第五条公理的含义。

多米诺骨牌长得就像更薄的麻将。如果我们把许多骨牌立在地上,排成一排。我们就会发现:

1.如果推倒一列骨牌中的任何一个骨牌,那么这个骨牌后面的那个骨牌也会倒下去。

2.推倒这列骨牌中的第一个骨牌。

由1和2可以得到3.这列骨牌全部都会倒下去。

数学归纳法也是类似的思路。它的关键就是证明1这一步,而2这一步相对容易证明,不用太操心。

注意,人们很容易误解1这一步。1这个步骤,本质上是一个条件。“如果天下雨,那么地上就湿”这也是个条件。我们想证明这个条件,那我们不是要证明现在天真的在下雨,也不是要证明现在地上真的湿了。我们是要证明,“如果天下雨,那么地上就湿”,换句话说,就是证明,如果天真的下雨了,那么地是不可能不湿的。

也就是说,要证明“如果n有某个特点,那么n’也有这个特点”,我们要做的不是去看n到底有没有这个特点,也不是去看n’到底有没有这个特点,而是去看,在n有这个特点的前提情况下,n’是不是必然也有这个特点。

加法公理

现在,我们有了皮亚诺的五条公理。那么,怎么证明1+1=2呢?

目前还无法证明,因为我们根本不知道“+”这个符号,究竟是什么意思,也不知道“2”这个符号是什么意思。

记住,我们可是一无所知的外星人。严格来说,我们连“=”这个符号都不知道是什么意思。不过,还是让我们先假设外星人也知道“=”是什么意思。

所以,光有皮亚诺公理还不够。为了知道加法的含义,我们还需要补充一些公理。

需要补充多少公理?

肯定是越少越好。皮亚诺就很聪明,只用了两条公理,就完美定义了所有的加法。

一:如果n是自然数,那么,n+1=n’。
二:如果n和m都是自然数,那么n’+m=(n+m)’。

现在,让我们先来用第一条公理。假设n就是1,那么1+1=1’。

1’只要被称之为2,那么就可以得出1+1=2了。是不是很简单?

同理,我们还可以证明1+2=3。

考虑第二条公理,假定m就是1,n也是1,那么1’+1=(1+1)’。

1+1是什么东西?它就是2,同时也就是1’。

所以,2+1=(2)’=(1’)’。

之前没有说,这里提一下,2+1其实也等于1+2。而只要我们把2’,也即是1’’,称之为3。那么我们就可以证明1+2=(2)’=(1’)’=1’’=3了。

同理,我们还可以证明235+234=469,只是会很长而已。


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